Wat ‘eerlijk’ betekent bij een americano
Bij een americano wissel je elke ronde van partner en tel je je eigen punten. Een indeling is eerlijk als:
- iedereen precies één keer met iedereen samenspeelt – niemand krijgt de sterkste speler twee keer als partner;
- iedereen even vaak tegen iedereen speelt – dan heeft niemand voordeel van een makkelijk programma;
- iedereen evenveel wedstrijden speelt – of, als er gerust moet worden, evenveel rustbeurten krijgt.
Americano is een clubgebruik, geen regel van een bond: de FIP-spelregels gaan over de wedstrijd zelf, niet over hoe je op een clubavond rouleert. Maar of die drie eisen tegelijk haalbaar zijn, is pure wiskunde.
Het whist-toernooi
Dit probleem is ouder dan padel. Bij het kaartspel whist spelen ook twee koppels tegen elkaar, en daar komt de naam vandaan: een schema waarin iedereen één keer met iedereen speelt heet een whist-toernooi. Het speelt elk paar spelers precies één keer samen en precies twee keer tegen elkaar.
Het belangrijkste resultaat: een whist-toernooi met n spelers bestaat precies dan als n bij deling door 4 rest 0 of 1 geeft. Dat werd in de jaren zeventig bewezen (Baker, 1975, met bijdragen van Wilson en Hanani), zoals J. D. A. Wiseman samenvat en recent onderzoek op arXiv bevestigt.
| Rest bij deling door 4 | Voorbeelden | Perfect schema? |
|---|---|---|
| 0 | 4, 8, 12, 16, 20, 24 | Ja, niemand rust |
| 1 | 5, 9, 13, 17, 21 | Ja, één speler rust per ronde |
| 2 | 6, 10, 14, 18 | Nee |
| 3 | 7, 11, 15, 19 | Nee |
Waarom 10 spelers niet kan: tellen
Je hoeft het bewijs niet te kennen om te zien waarom 10 niet werkt. Met n spelers zijn er n × (n − 1) ÷ 2 mogelijke koppels. Elke wedstrijd laat er precies twee samenspelen. Dus heb je n × (n − 1) ÷ 4 wedstrijden nodig.
- 8 spelers: 8 × 7 ÷ 4 = 14 wedstrijden – een heel getal.
- 9 spelers: 9 × 8 ÷ 4 = 18 wedstrijden – een heel getal.
- 10 spelers: 10 × 9 ÷ 4 = 22,5 wedstrijden – onmogelijk.
Bij 10 spelers moet dus minstens één koppel twee keer samenspelen, of één koppel nooit. Dat is geen fout in de software maar rekenkunde. De kunst is dan om de schade zo klein mogelijk te houden. In het schema voor 10 spelers op 2 banen speelt iedereen in 12 rondes met iedereen samen, sommige koppels twee keer, en rust iedereen 2 of 3 keer – nooit twee keer achter elkaar.
Rondes per aantal banen
Een perfect schema met 4k spelers heeft n − 1 rondes als je k banen hebt. Met 4k + 1 spelers zijn het n rondes waarin telkens één speler rust.
| Spelers | Banen | Rondes | Rust per ronde | Rustbeurten per speler |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 2 | 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 9 | 1 | 1 |
| 12 | 3 | 11 | 0 | 0 |
| 13 | 3 | 13 | 1 | 1 |
| 16 | 4 | 15 | 0 | 0 |
Heb je minder banen dan het schema vraagt, dan blijft het schema bruikbaar: dezelfde wedstrijden worden over meer rondes verdeeld. Met 8 spelers op 1 baan worden het 14 rondes, met 12 spelers op 2 banen 17. Iedereen speelt dan nog steeds één keer met iedereen; er rusten alleen meer mensen per ronde. De enige uitdaging is de volgorde: je wilt dat op elk moment niemand meer dan één wedstrijd voorloopt, zodat het niet uitmaakt wanneer de baanhuur afloopt. Bandeja ordent de rondes precies zo.
Een voorbeeld: 9 spelers op 2 banen
Negen is een mooi aantal om te zien hoe rust werkt. 9 gedeeld door 4 geeft rest 1, dus er bestaat een perfect schema. Elke ronde staan er 8 spelers op 2 banen en rust er één. Na 9 rondes heeft iedereen precies één keer gerust, 8 wedstrijden gespeeld, met alle 8 anderen één keer samengespeeld en tegen ieder twee keer gestaan. Omdat iedereen even vaak rust, hoef je rustbeurten niet te compenseren in de stand.
Zet je dezelfde 9 spelers op 1 baan, dan worden het 18 rondes en rust elke speler 10 keer. Het schema is nog steeds perfect, maar de avond wordt erg lang. Bekijk het schema voor 9 spelers op 2 banen om de volledige indeling te zien.
Hoe Bandeja het schema maakt
Voor 4, 5, 8, 9, 12, 13 en verder tot 32 spelers bevat Bandeja kant-en-klare whist-toernooien. Die zijn gevonden met een computerzoektocht naar een zogenoemde startronde: één ronde waaruit je alle andere rondes maakt door de spelernummers steeds met één op te hogen (modulo het aantal spelers). Alleen de startronde moet aan strenge voorwaarden voldoen, en dat maakt het zoeken haalbaar. Elk gevonden schema wordt automatisch gecontroleerd: elk paar precies één keer samen en precies twee keer tegenover elkaar.
Voor de onmogelijke aantallen – 6, 7, 10, 11, 14, 15 enzovoort – bouwt een zoekalgoritme ronde voor ronde de indeling. Het kiest eerst wie er rust (wie het minst gerust heeft en niet net rustte), en verdeelt de rest dan zo dat herhaalde partners zoveel mogelijk worden vermeden en iedereen ongeveer even vaak tegen iedereen speelt.
Rustbeurten eerlijk maken
Wie rust, speelt een wedstrijd minder en loopt bij een puntentelling achter. Drie gebruikelijke oplossingen:
- Geen compensatie – prima als iedereen even vaak rust, zoals bij 9 spelers op 2 banen.
- De helft van het wedstrijdtotaal – bij wedstrijden tot 24 punten krijgt wie rust 12 punten.
- Het eigen gemiddelde – de eerlijkste keuze als niet iedereen even vaak rust.
Spreek dit vooraf af. Het is een huisregel, geen padelregel.
En als je geen perfect schema wilt?
Soms is ‘iedereen met iedereen’ niet eens het doel. Bij mexicano worden na de eerste ronde de koppels gemaakt op basis van de stand: in elke groep van vier spelen 1 en 4 tegen 2 en 3. Zo komen spelers van gelijk niveau steeds vaker tegen elkaar uit. Eventbeschrijvingen op Playtomic, zoals ‘Zero to Hero Mexicano’, beschrijven precies die regel. Meer in de regels van mexicano.
Wil je wel de perfecte rotatie, plak dan de namen in de planner: die kiest voor jouw aantal spelers en banen automatisch het eerlijkste schema dat wiskundig mogelijk is.